Lernen › Kopfrechenstrategien

Ratgeber für Eltern und Lehrkräfte

Kopfrechenstrategien, die wirklich helfen

Gut im Kopf zu rechnen heißt nicht, ein menschlicher Taschenrechner zu sein. Es heißt, eine Handvoll verlässlicher Rechenwege zu kennen, mit denen sich eine schwierig wirkende Aufgabe in zwei oder drei kleine Schritte verwandeln lässt, die man sicher beherrscht. Genau diese Strategien lernen Kinder in der Grundschule. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz verlangen, dass sie Rechenwege flexibel nutzen, miteinander vergleichen und bewerten können.

Schreibt Ihr Kind dabei Zwischenschritte auf, etwa 47 + 30 = 77 und 77 − 1 = 76, spricht man in der Schule von halbschriftlichem Rechnen. Auch das gehört hierher: Gerechnet wird trotzdem im Kopf, die Notiz hilft nur beim Behalten. Hier sind die acht Strategien, denen Ihr Kind am häufigsten begegnet, mit den Namen, die Lehrkräfte verwenden, und mit durchgerechneten Beispielen. Für Erwachsene funktionieren sie genauso.

1. Zehnerübergang: erst bis zur Zehn

Bei 8 + 5 zerlegt man die 5 in 2 und 3: 8 + 2 = 10, und 10 + 3 = 13. Erst bis zum nächsten Zehner, dann weiter: Dieser Schritt über den Zehner ist eine der wichtigsten Strategien beim Addieren, und er steht schon in der 1. Klasse im Mittelpunkt. Er klappt aber nur, wenn die Zahlzerlegungen sitzen. Ihr Kind muss ohne Zählen wissen, dass der 8 noch 2 bis zur 10 fehlen. In vielen Klassen heißen solche Paare „verliebte Zahlen“.

Mit größeren Zahlen geht es genauso. Bei 38 + 7 springt man erst bis zur 40 und hat dann noch 5 übrig:

Beim Minusrechnen geht man erst zurück bis zum Zehner: 43 − 6 = 43 − 3 − 3. Von 43 sind es 3 zurück bis zur 40, dann noch 3 weiter zurück bis zur 37.

2. Zerlegen: schrittweise oder stellenweise

Zweistellige Zahlen lassen sich in Zehner und Einer zerlegen. In der Schule unterscheidet man dabei zwei Wege. Stellenweise rechnet man Zehner und Einer getrennt: Bei 46 + 37 ist 40 + 30 = 70 und 6 + 7 = 13, zusammen 83. Schrittweise zerlegt man nur die zweite Zahl: 46 + 30 = 76, dann 76 + 7 = 83.

Im Kopf fängt man meist mit den Zehnern an, also von links nach rechts. Das ist im Deutschen gar nicht selbstverständlich, denn wir sagen „sechsundvierzig“ und nennen die Einer zuerst. Deshalb hilft es, sich die Zahl vorher als 4 Zehner und 6 Einer vorzustellen. Das beugt auch Zahlendrehern vor, bei denen ein Kind 38 statt 83 aufschreibt.

Beim Minusrechnen ist der schrittweise Weg sicherer: 72 − 35 = 72 − 30 − 5, also 42 − 5 = 37. Stellenweise führt hier leicht zu einem typischen Fehler. Das Kind rechnet 70 − 30 = 40, bei den Einern „5 − 2 = 3“ und kommt auf 43. In der Aufgabe steht aber 2 − 5, nicht 5 − 2.

3. Verdoppeln, Fast-Verdoppeln und Halbieren

Verdopplungsaufgaben wie 6 + 6 = 12 oder 7 + 7 = 14 merken sich Kinder schnell, und sie stehen schon in der 1. Klasse auf dem Plan. Mit ihnen lassen sich die Nachbaraufgaben lösen: 7 + 8 ist das Doppelte von 7 und 1 mehr, also 15. Oder das Doppelte von 8 und 1 weniger, auch das ergibt 15. Mit größeren Zahlen geht es genauso: 25 + 26 = 50 + 1 = 51, und 35 + 34 = 70 − 1 = 69.

Halbieren ist die Umkehrung. Die Hälfte von 46 ist die Hälfte von 40 und die Hälfte von 6, also 20 + 3 = 23. Bei 78 lohnt sich ein kleiner Kniff: Man zerlegt in 60 + 18, weil man von beiden Zahlen die Hälfte sofort weiß: 30 + 9 = 39.

4. Hilfsaufgabe: runden und ausgleichen

Bei 47 + 29 ist die 29 fast 30. Man rechnet deshalb die Hilfsaufgabe 47 + 30 = 77 und gleicht danach aus: Man hat 1 zu viel dazugerechnet, also 77 − 1 = 76.

Das geht mit jeder Zahl, die knapp unter einem Zehner oder Hunderter liegt: 47 + 9 = 57 − 1 = 56, 64 + 18 = 84 − 2 = 82 und 365 + 99 = 465 − 1 = 464. Beim Minusrechnen ist es umgekehrt. Man zieht zu viel ab und gibt das Zuviel wieder dazu: 52 − 9 = 42 + 1 = 43, und 83 − 28 = 53 + 2 = 55.

Im Alltag ist die Hilfsaufgabe wie gemacht für Preise, die auf 99 Cent enden. Ein Malblock für 2,99 € und eine Packung Buntstifte für 4,99 € kosten fast 3 € + 5 € = 8 €. Weil jeder Artikel 1 Cent weniger kostet, sind es 8 € − 2 ct = 7,98 €.

Ein häufiger Fehler ist, in die falsche Richtung auszugleichen: erst 47 + 30 = 77 und dann 1 dazu statt 1 weg. Eine Frage hilft: „Habe ich zu viel oder zu wenig dazugerechnet?“ Wer zu viel dazugerechnet hat, nimmt wieder etwas weg.

5. Ergänzen statt Abziehen

Eine Minusaufgabe fragt auch nach dem Unterschied zwischen zwei Zahlen. Bei 62 − 38 kann man deshalb von 38 aus bis 62 ergänzen, statt abzuziehen: 2 bis zur 40, dann 22 bis zur 62. Der Unterschied ist 2 + 22 = 24. Kinder kennen diese Idee von den Platzhalteraufgaben: 62 − 38 ist die Zahl, die in 38 + □ = 62 fehlt.

Ergänzen ist unschlagbar, wenn die beiden Zahlen nah beieinanderliegen. Bei 1003 − 997 fehlen 3 bis zur 1000 und dann noch 3 bis zur 1003. Das Ergebnis ist 6. Schriftlich gerechnet stecken in dieser Aufgabe wegen der Nullen gleich mehrere Fehlerquellen.

Genau so zählt man auch Wechselgeld ab. Zwei Kugeln Eis kosten 3,60 €, bezahlt wird mit einem 10-Euro-Schein. Von 3,60 € sind es 40 ct bis 4 € und dann 6 € bis 10 €. Zurück gibt es 6,40 €. Die Probe: 3,60 € + 6,40 € = 10 €.

6. Verdoppeln und Halbieren beim Malnehmen

Das Verdoppeln hilft auch beim Malnehmen. Mal 4 heißt zweimal verdoppeln: 17 · 4 ist das Doppelte von 34, also 68. Mal 8 heißt dreimal verdoppeln: 6, 12, 24, 48, also ist 6 · 8 = 48.

Mal 5 ist die Hälfte von mal 10. So leiten Kinder die Fünferreihe aus der Zehnerreihe ab: 5 · 7 ist die Hälfte von 70, also 35. Das funktioniert auch mit größeren Zahlen: 46 · 5 = 460 : 2 = 230.

Man kann außerdem eine Zahl halbieren und die andere verdoppeln, das Ergebnis bleibt gleich: 16 · 25 = 8 · 50 = 4 · 100 = 400. Und statt 5 · 14 rechnet man lieber 10 · 7 = 70.

7. Malaufgaben zerlegen: 9er, 11er und mehr

In der Schule beginnt das kleine Einmaleins mit den Kernaufgaben: mal 1, 2, 5 und 10 und die Quadrataufgaben wie 4 · 4. Die übrigen Aufgaben leiten Kinder daraus ab. 9 · 7 ist 10 · 7 minus einmal 7, also 70 − 7 = 63. 6 · 7 ist 5 · 7 plus einmal 7, also 35 + 7 = 42. Und wer 6 · 4 = 24 weiß, weiß auch 60 · 4 = 240.

Dahinter steckt das Zerlegen einer Malaufgabe, das Kinder ab der 3. Klasse auch halbschriftlich nutzen: 7 · 23 = 7 · 20 + 7 · 3 = 140 + 21 = 161. Auf diese Weise lässt sich auch mit 11 rechnen, obwohl das kleine Einmaleins nur bis 10 · 10 reicht: 11 · 14 ist 10 · 14 plus einmal 14, also 140 + 14 = 154. Erwachsene können die Idee weitertreiben: 99 · 6 = 600 − 6 = 594.

8. Prüfen: gerade, ungerade, Endziffer und Überschlag

Am Ende lohnt ein kurzer Blick auf das Ergebnis: Kann das überhaupt stimmen? Drei Prüfungen helfen dabei.

• Gerade und ungerade: Zwei ungerade Zahlen ergeben zusammen immer eine gerade Zahl, eine gerade und eine ungerade Zahl immer eine ungerade. Ist bei einer Malaufgabe ein Faktor gerade, ist auch das Ergebnis gerade. 6 · 13 kann also nicht 79 sein. Richtig ist 78.
• Die Endziffer: Die letzte Ziffer einer Summe hängt nur von den letzten Ziffern der Summanden ab. 47 + 38 muss auf 5 enden, weil 7 + 8 = 15 ist. 84 ist also falsch, richtig ist 85.
• Der Überschlag: 398 + 207 ist ungefähr 400 + 200 = 600. Ein Ergebnis wie 1005 kann nicht stimmen, richtig ist 605. Ab der 3. Klasse machen Kinder vor einer schriftlichen Rechnung in der Regel zuerst einen Überschlag.

Diese Prüfungen liefern nicht das Ergebnis, aber sie zeigen sofort, wenn eines falsch ist.

Welche Strategie in welcher Klasse?

Die Tabelle zeigt, wann die meisten Schulen eine Strategie einführen. Je nach Bundesland und Schulbuch kann sich das etwas verschieben. Danach bleibt jede Strategie im Einsatz, mit immer größeren Zahlen.

Alles zusammen: eine Wabe zum Knobeln

In den Rätseln von Beequation kommen all diese Strategien zusammen. In jedem Wabenrätsel ist eine Zahl die Summe von zwei anderen. Wer sie schnell finden will, schaut auf die Endziffern, denkt an gerade und ungerade und rechnet fast nebenbei über den Zehner. Wie die Rätsel genau funktionieren, erklärt die Spielanleitung. Probieren Sie es aus:

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