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Argumentieren und Problemlösen

Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz beschreiben für die Grundschule nicht nur Inhalte (die fünf Leitideen von „Zahl und Operation“ bis „Daten und Zufall“), sondern auch sechs prozessbezogene Kompetenzen. Um vier davon geht es hier. Mathematisch argumentieren heißt, Vermutungen aufzustellen und zu begründen: „Woher weißt du das?“ Probleme mathematisch lösen heißt, Gelerntes in einer neuen Situation anzuwenden. Wer anderen seine Gedanken verständlich macht, kommuniziert mathematisch, und wer dafür Plättchen, eine Skizze oder eine Tabelle nutzt, stellt mathematisch dar.

Dafür braucht es keine eigene Stunde. Diese Kompetenzen wachsen mit den Fragen, die Sie stellen, und den Gesprächen, die Sie anregen, jeden Tag und in jedem Thema. Die Ideen unten passen in jede Klassenstufe.

Frageimpulse, die zum Nachdenken anregen

Hängen Sie einige davon auf oder tragen Sie sie auf einer Karte bei sich, bis sie allen in Fleisch und Blut übergegangen sind:

• Was fällt dir auf? Was möchtest du herausfinden?
• Was ist gleich, was ist anders?
• Woher weißt du das? Kannst du es zeigen?
• Geht es auch anders? Welcher Weg ist geschickter?
• Was passiert, wenn …?
• Finde ein Beispiel. Und jetzt eines, auf das sonst niemand kommt.
• Stimmt das immer, manchmal oder nie?
• Wo steckt der Fehler?

Begründen: „Überzeuge mich!“

Die Kinder sollen Sie von einer Aussage überzeugen, die sie längst für richtig halten. „Weil ich das weiß“ reicht dann nicht mehr.

• Klasse 1: Überzeuge mich, dass 7 + 8 = 15 ist. 7 + 7 = 14 ist eine Verdopplungsaufgabe. 8 ist eins mehr als 7, also ist das Ergebnis eins mehr als 14.
• Klasse 2: Überzeuge mich, dass 6 · 7 = 42 ist. 5 · 7 = 35 ist eine Kernaufgabe, und 6 · 7 ist eine Sieben mehr: 35 + 7 = 42.
• Klasse 3 und 4: Stimmt das immer? Die Summe von drei Nachbarzahlen lässt sich immer ohne Rest durch 3 teilen. 4 + 5 + 6 = 15 und 15 : 3 = 5. Mit Plättchen sieht man, warum: Legt man vom größten Haufen ein Plättchen auf den kleinsten, sind alle drei Haufen so groß wie der mittlere.
• Klasse 6: Überzeuge mich, dass ⅗ größer ist als ½. Die Hälfte von 5 Fünfteln sind 2½ Fünftel, und 3 Fünftel sind mehr. Oder: ½ = ⁵⁄₁₀ und ⅗ = ⁶⁄₁₀.

Plättchen, Zeichnungen und der Zahlenstrahl zählen als Begründung, ganz im Sinne des EIS-Prinzips. Manche der besten Erklärungen sind Bilder.

Wahr oder falsch?

Eine Aussage steht an der Tafel, die Kinder entscheiden und begründen. Mischen Sie wahre und falsche Aussagen, damit niemand ein Muster errät. Gut funktioniert es, erst mit Ampelkarten abzustimmen und dann nach Gründen zu fragen.

Fehler finden

Zeigen Sie eine fertig gerechnete Aufgabe mit einem Fehler und lassen Sie die Kinder ihn finden, erklären und verbessern. Das ist weniger heikel als die Suche in der eigenen Arbeit, und Sie greifen gezielt typische Fehlvorstellungen auf. Besonders ergiebig ist diese Fehleranalyse bei den schriftlichen Rechenverfahren.

• Klasse 2: 52 − 27 = 35. Bei den Einern wurde 7 − 2 statt 2 − 7 gerechnet. Schrittweise geht es so: 52 − 20 = 32 und 32 − 7 = 25.
• Klasse 3 und 4: 532 − 178 = 446. In jeder Spalte wurde die kleinere von der größeren Ziffer abgezogen, also 8 − 2 statt 2 − 8 und 7 − 3 statt 3 − 7. Richtig ist 354, Probe: 354 + 178 = 532. Dieser Fehler kommt beim Abziehverfahren genauso vor wie beim Ergänzungsverfahren.
• Klasse 4: 324 · 23 = 1620. Die Teilprodukte 648 und 972 stehen bündig untereinander. Die 648 steht aber für 324 · 20 = 6480, die 972 gehört eine Stelle weiter nach rechts: 6480 + 972 = 7452. Der Überschlag 300 · 20 = 6000 hätte gewarnt.
• Klasse 6: ¼ + ¼ = ²⁄₈. Ein Viertel und noch ein Viertel sind zwei Viertel, also ²⁄₄ = ½. Die Nenner werden nicht addiert. Außerdem ist ²⁄₈ dasselbe wie ¼, und zwei Viertel können nicht so viel sein wie ein einziges.

Offene Aufgaben und Forscheraufgaben

Aufgaben mit mehreren Lösungen oder vielen Lösungswegen bieten allen Kindern einen Einstieg, und wer schnell fertig ist, findet genug Stoff zum Weiterdenken. Man spricht hier von natürlicher Differenzierung.

• Jede Klasse: Das Ergebnis ist 12. Wie kann die Aufgabe heißen? (In Klasse 1 vielleicht 10 + 2 oder 15 − 3, in Klasse 3 eher 3 · 4 oder 48 : 4, in Klasse 6 auch ¼ von 48.)
• Klasse 1: Auf wie viele Arten kannst du mit zwei Würfeln zusammen 6 würfeln? 1 + 5, 2 + 4 und 3 + 3, also 3 Arten, oder 5, wenn 5 + 1 und 4 + 2 als eigene Würfe zählen, etwa bei einem roten und einem blauen Würfel. Darüber zu streiten ist schon Argumentieren.
• Klasse 2 und 3: Ich habe genau 21 ct bezahlt, nur mit 2-Cent- und 5-Cent-Münzen. Welche Münzen können es gewesen sein? Eine 5-Cent-Münze und acht 2-Cent-Münzen, oder drei 5-Cent-Münzen und drei 2-Cent-Münzen. Die Zahl der 5-Cent-Münzen muss ungerade sein, denn 2-Cent-Münzen ergeben immer einen geraden Betrag.
• Klasse 4 und 5: Ein Rechteck hat einen Umfang von 20 cm, alle Seiten sind ganze Zentimeter lang. Welchen Flächeninhalt kann es haben? Länge und Breite ergeben zusammen 10 cm, also sind 9, 16, 21, 24 oder 25 cm² möglich. Das Quadrat mit 5 cm Seitenlänge hat den größten Flächeninhalt.

Bei Forscheraufgaben untersuchen die Kinder ein Muster, stellen eine Vermutung auf und prüfen sie. Ein Beispiel für Klasse 3: Nimm eine zweistellige Zahl, deren Zehnerziffer größer ist als die Einerziffer, und ziehe ihre Umkehrzahl ab, etwa 72 − 27 = 45, 83 − 38 = 45 oder 91 − 19 = 72. Was fällt dir auf? Alle Ergebnisse stehen in der Neunerreihe: Es kommt immer 9-mal der Unterschied der beiden Ziffern heraus. Die Stellenwerttafel zeigt, warum: Bei 72 − 27 bleiben 5 Zehner weniger 5 Einer, also 50 − 5 = 45.

Rechenkonferenz: Rechenwege vergleichen

In einer Rechenkonferenz, vielerorts auch Mathekonferenz genannt, rechnen die Kinder zuerst allein, vergleichen dann in einer kleinen Gruppe ihre Wege und stellen einen davon der Klasse vor, nach dem Ich-Du-Wir-Prinzip. Für 63 − 28 kommen in Klasse 2 zum Beispiel diese Wege zusammen:

• Schrittweise: 63 − 20 = 43 und 43 − 8 = 35.
• Mit einer Hilfsaufgabe: 63 − 30 = 33, dann 2 wieder dazu, weil 2 zu viel abgezogen wurden: 35.
• Ergänzen: Von 28 bis 30 sind es 2, von 30 bis 63 sind es 33, zusammen 35.
• Gleichsinnig verändern: Beide Zahlen um 2 vergrößern, 65 − 30 = 35. Der Unterschied bleibt derselbe.

Entscheidend ist die Frage danach: „Welcher Weg ist bei dieser Aufgabe geschickt? Bei welcher Aufgabe würdest du einen anderen nehmen?“ So vergleichen und bewerten Kinder Rechenwege, wie es die Bildungsstandards vorsehen (mehr dazu unter Plus und Minus).

Sachaufgaben: erst skizzieren, dann rechnen

Bei Sachaufgaben greifen viele Kinder nach den Zahlen im Text und rechnen drauflos. Eine Skizze, eine Tabelle oder ein Streifen zeigt, was bekannt und was gesucht ist, bevor eine Rechenart gewählt wird. In den ersten Klassen hilft das Zahlenhaus: „In der Klasse sind 23 Kinder, 14 davon sind Mädchen. Wie viele Jungen sind es?“ Ins Dach kommt das Ganze, die 23, in ein Zimmer darunter die 14. Gesucht ist das andere Zimmer: 23 − 14 = 9, oder ergänzt: 14 + 9 = 23.

Solche Streifen eignen sich ab Klasse 3 für Vergleiche wie „dreimal so viele“. Für Aufgaben mit Menge und Preis ist in Klasse 4 eine Tabelle das passende Werkzeug: „3 Brezeln kosten 2,70 €. Was kosten 5 Brezeln?“

Andere rechnen über 6 Brezeln: Sie kosten doppelt so viel wie 3, also 5,40 €. 5 Brezeln kosten eine Brezel weniger: 5,40 € − 0,90 € = 4,50 €. In Klasse 5 wird aus der Tabelle der Dreisatz.

Auch für Brüche in Klasse 6 hilft der Streifen: „Lea hat ⅖ ihres Ersparten ausgegeben und noch 18 € übrig. Wie viel hatte sie am Anfang?“ Der Streifen hat 5 gleiche Teile, 2 sind ausgegeben. Die 3 übrigen sind 18 €, ein Teil also 6 €, der ganze Streifen 5 · 6 € = 30 €. Probe: ⅖ von 30 € sind 12 €, und 30 € − 12 € = 18 €.

Wortspeicher und Satzanfänge

Viele Kinder kennen die Lösung, finden aber keine Worte für das Warum. Satzanfänge geben ihnen diese Worte. Machen Sie sie vor, hängen Sie sie auf und erwarten Sie Antworten in ganzen Sätzen:

• Ich weiß, dass …, also …
• Zuerst habe ich …, dann …, deshalb ist das Ergebnis …
• Das kann nicht stimmen, weil …
• Ich stimme … zu, weil … / Ich sehe das anders, weil …
• Das stimmt immer / manchmal / nie, weil …
• Mein Ergebnis passt, denn mein Überschlag war …

Ein Wortspeicher mit den Fachbegriffen des aktuellen Themas ergänzt die Satzanfänge, etwa Summe, Differenz, Tauschaufgabe, Umkehraufgabe, Zehnerübergang, Übertrag und Überschlag. Davon profitieren Kinder mit Deutsch als Zweitsprache besonders (Erklärungen zu jedem Begriff im Mathe-Lexikon). In einer kurzen Murmelphase sagen die Kinder ihren Satz erst dem Nachbarkind, bevor jemand vor der Klasse antwortet.

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