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Themen-Ratgeber
Muster, Gleichungen und Dreisatz
Das Wort „Algebra“ kommt in der Grundschule nicht vor. Die Sache selbst begegnet Kindern trotzdem von der 1. Klasse an: in Platzhalteraufgaben wie 3 + □ = 7, in Zahlenfolgen und Mustern, die sie fortsetzen sollen, und in Zahlenmauern, bei denen eine fehlende Zahl aus den anderen erschlossen wird. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz fassen das unter der Leitidee „Muster, Strukturen und funktionaler Zusammenhang“ zusammen. Dazu gehört auch, Zusammenhänge wie „doppelt so viele Brezeln, doppelt so viel Geld“ zu erkennen. In Klasse 5 und 6 wird daraus das Rechnen mit Termen und ersten Gleichungen, mit dem Dreisatz und dem Maßstab.
Was Kinder in welcher Klasse lernen
Was in welcher Klasse drankommt, legt jedes Bundesland in seinem Lehrplan fest. Gemeinsame Grundlage für die Grundschule sind die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz. Die Tabelle zeigt, was die meisten Schulen machen. Je nach Bundesland und Schulbuch kann sich das etwas verschieben, in Klasse 5 und 6 auch je nach Schulart.
| Klasse | Was Kinder lernen |
|---|---|
| Vorschule | Noch kein Schulstoff, aber im Spiel: Muster legen, nachlegen und fortsetzen (rot, blau, rot, blau …), nach einer Regel sortieren, Mengen vergleichen (mehr, weniger, gleich viel). |
| 1. Klasse | Platzhalteraufgaben im Zahlenraum bis 20, etwa 3 + □ = 7 oder □ − 4 = 5. Tauschaufgaben, Umkehraufgaben und Aufgabenfamilien. Zahlen vergleichen mit <, > und =. Zahlenfolgen und Muster fortsetzen, erste Zahlenmauern und Rechendreiecke. |
| 2. Klasse | Platzhalteraufgaben bis 100, jetzt auch mit Mal und Geteilt: □ · 5 = 35. Zahlenfolgen in Schritten, etwa in Dreierschritten: 3, 6, 9, 12 … Zahlenmauern bis 100. Aufgaben vergleichen: 30 + 9 ist größer als 40 − 2. |
| 3. Klasse | Platzhalteraufgaben mit allen vier Rechenarten bis 1000, etwa 8 · □ = 240. Zahlenfolgen mit zwei Rechenschritten im Wechsel. Eine Zahl auf verschiedene Arten ausdrücken: 24 = 4 · 6 = 30 − 6 = 12 + 12. |
| 4. Klasse | Tabellen mit Menge und Preis: Wie verändert sich der Preis, wenn man doppelt oder dreimal so viel kauft? Sachaufgaben, Zahlenfolgen und Muster beschreiben, Figuren vergrößern und verkleinern, erste Pläne mit Maßstab. |
| 5. Klasse | Terme mit Klammern und die Regel „Punkt vor Strich“, Rechengesetze wie das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz), erste Gleichungen wie x + 7 = 15 oder 4 · x = 36. Der Dreisatz (auch Schlussrechnung), der Maßstab und die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. |
| 6. Klasse | Terme und Gleichungen auch mit Brüchen und Dezimalzahlen, Formeln für Flächen wie Dreieck und Parallelogramm. Der Dreisatz kommt in der Prozentrechnung wieder, je nach Bundesland und Schulart in Klasse 6 oder 7. |
Die wichtigsten Ideen
1. Das Gleichheitszeichen bedeutet „ist genauso viel wie“
Viele Kinder lesen das Gleichheitszeichen als „und das Ergebnis ist“. Bei 3 + 5 = 8 geht das gut. Bei 8 = 3 + 5 oder bei 6 + □ = 4 + 5 kommen sie damit nicht weiter. Hilfreich ist das Bild einer Waage: Links und rechts muss gleich viel liegen. 4 + 5 sind 9, also müssen auch 6 + □ zusammen 9 sein. In das Kästchen gehört die 3.
2. Platzhalteraufgaben: Die Umkehraufgabe hilft
Plus und Minus machen sich gegenseitig rückgängig, Mal und Geteilt ebenso. Damit lassen sich fast alle Platzhalteraufgaben lösen. Bei □ − 9 = 7 fragt man: „Von welcher Zahl nehme ich 9 weg, damit 7 übrig bleiben?“ Die 9 kommt also wieder dazu: 7 + 9 = 16. Bei □ · 4 = 32 wird geteilt: 32 : 4 = 8. Zum Schluss setzt man das Ergebnis zur Probe ein: 16 − 9 = 7 und 8 · 4 = 32. Beides stimmt.
3. Zahlenmauern und Rechendreiecke
Zahlenmauern gibt es in fast jedem deutschen Mathebuch. Die Regel: Jeder Stein ist die Summe der beiden Steine, auf denen er liegt. Am Anfang rechnen die Kinder von unten nach oben. Spannend wird es, wenn Steine fehlen und man rückwärts denken muss. Dann ist eine Zahlenmauer ein kleines Algebra-Rätsel.
Für die rechte Mauer probieren viele Kinder zuerst: Mit einer 5 in der Mitte kommt oben 17 heraus, wie links, also zu wenig. Mit einer 6 sind es 19. Wer genau hinschaut, entdeckt den Trick: Der mittlere Stein wird in beide Steine darüber eingerechnet und zählt oben deshalb doppelt. Wird er um 1 größer, wächst der Deckstein um 2. Von 17 bis 21 fehlen 4, der mittlere Stein muss also um 2 größer sein als 5: Gesucht ist die 7. Probe: 3 + 7 = 10, 7 + 4 = 11 und 10 + 11 = 21. Genau solche Entdeckungen sind das Ziel. Nach einem ähnlichen Prinzip funktionieren Rechendreiecke: Außen an jeder Seite steht die Summe der beiden Zahlen in den Innenfeldern an dieser Seite.
4. Hinter jeder Zahlenfolge steckt eine Regel
Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, die nach einer festen Regel gebildet wird; bei Mustern sind es Formen oder Farben. Jüngere Kinder setzen Muster fort und zählen in Schritten. Ältere finden die Regel selbst und beschreiben sie in Worten. Ab der 3. Klasse kommen oft Folgen mit zwei Rechenschritten im Wechsel dazu: 2, 5, 4, 7, 6, 9 … Hier heißt die Regel „plus 3, minus 1“, die nächste Zahl ist also 8. Manche Kinder entdecken sogar eine Regel, mit der man jede beliebige Stelle direkt ausrechnen kann. In der Folge oben gilt: Zahl = 4 · Platz − 1. Die 10. Zahl ist also 4 · 10 − 1 = 39.
5. Terme und Gleichungen: Ein Buchstabe steht für eine Zahl
In Klasse 5 wird aus dem Kästchen ein Buchstabe. x + 5 = 12 bedeutet: „Eine Zahl plus 5 ergibt 12“, also ist x = 7. Bei 3 · x = 18 ist x = 6. Gelöst werden solche Gleichungen zunächst wie in der Grundschule, mit der Umkehraufgabe oder durch geschicktes Probieren, und immer mit der Probe. Das systematische Umformen von Gleichungen folgt in den höheren Klassen.
Ein Term ist ein Rechenausdruck wie 3 + 4 · 5. Damit alle dasselbe herausbekommen, gilt „Punkt vor Strich“: Mal und Geteilt (die Punktrechnungen) kommen vor Plus und Minus (den Strichrechnungen). Also ist 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23. Soll zuerst addiert werden, braucht man Klammern: (3 + 4) · 5 = 35. Das Verteilungsgesetz kennen die Kinder schon vom halbschriftlichen Rechnen: 7 · 23 = 7 · (20 + 3) = 7 · 20 + 7 · 3 = 140 + 21 = 161.
Eine Formel ist eine Rechenregel mit Buchstaben. Für ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b gilt für den Umfang u = 2 · a + 2 · b und für den Flächeninhalt A = a · b. Ein Rechteck, 7 cm lang und 4 cm breit, hat also einen Umfang von 14 cm + 8 cm = 22 cm und einen Flächeninhalt von 7 cm · 4 cm = 28 cm². Mehr dazu steht im Ratgeber Größen und Messen.
Lesen Sie das Gleichheitszeichen laut als „ist genauso viel wie“, und schreiben Sie Aufgaben ab und zu „verkehrt herum“ auf: 10 = 4 + □. Kinder, die das Ergebnis immer nur rechts sehen, stutzen beim ersten Mal, wenn es auf der anderen Seite steht. Diese Gewohnheit wieder abzulegen, kostet später viel Mühe.
6. Menge und Preis: der Dreisatz
Kostet eine Kugel Eis 1,80 €, dann kosten 2 Kugeln 3,60 € und 4 Kugeln 7,20 €. Doppelt so viele Kugeln kosten doppelt so viel. Solche Tabellen mit Menge und Preis lernen Kinder in der 4. Klasse kennen. In der 5. Klasse wird daraus der Dreisatz: Man schließt zuerst auf eine Einheit, also auf 1 Stück, und dann auf die gesuchte Menge. Dabei schreibt man drei Zeilen untereinander.
Rezepte funktionieren genauso. Hier ein Pfannkuchenteig für 4 Personen, umgerechnet für 6. Mit dem Umweg über 2 Personen (erst halbieren, dann mal 3) bleiben die Zahlen handlich:
| Zutat | Für 4 Personen | Für 2 Personen (: 2) | Für 6 Personen (· 3) |
|---|---|---|---|
| Mehl | 200 g | 100 g | 300 g |
| Eier | 4 | 2 | 6 |
| Milch | 400 ml | 200 ml | 600 ml |
7. Maßstab und Verhältnis
Auf einem Plan im Maßstab 1 : 100 (gelesen „eins zu hundert“) steht 1 cm für 100 cm in Wirklichkeit, also für 1 m. Ein Kinderzimmer, das auf dem Plan 4 cm lang und 3 cm breit ist, ist in Wirklichkeit 4 m lang und 3 m breit. Auf einer Wanderkarte im Maßstab 1 : 25 000 sind 4 cm in Wirklichkeit 4 · 25 000 cm = 100 000 cm, also 1 km.
Mit demselben Doppelpunkt schreibt man ein Verhältnis. Eine Apfelschorle im Verhältnis 1 : 3 hat 1 Teil Saft auf 3 Teile Wasser. Eine Skizze mit Streifen hilft beim Rechnen: Für 1 Liter Schorle zeichnet man einen Streifen aus 4 gleich langen Teilen. Jeder Teil steht für 1000 ml : 4 = 250 ml.
Wie ausführlich Verhältnisse in Klasse 5 und 6 behandelt werden, hängt von Bundesland und Schulart ab. Den Maßstab lernen Kinder meist schon in der 4. Klasse kennen, in der 5. Klasse kommt er wieder.
Typische Fehler
- Das Gleichheitszeichen als „jetzt kommt das Ergebnis“ lesen: Bei 4 + 5 = □ + 2 schreiben Kinder 9 ins Kästchen statt 7.
- Die falsche Umkehraufgabe: Bei □ − 9 = 7 rechnen sie 9 − 7 = 2 statt 7 + 9 = 16. Die Probe deckt den Fehler auf: 2 − 9 ergibt keine 7.
- „Punkt vor Strich“ vergessen: 3 + 4 · 5 = 35 statt 23.
- Den Buchstaben für eine Sache halten: Das x ist kein Gegenstand und auch nicht immer dieselbe Zahl. In jeder Aufgabe steht es für die Zahl, die dort gesucht ist. Und 3 · x heißt „3-mal x“, nicht „3 plus x“.
- Verhältnis und Bruch verwechseln: Bei einer Schorle im Verhältnis 1 : 3 ist der Saft ¼ der Schorle, nicht ⅓.
- Addieren statt Malnehmen beim Umrechnen: Wer das Rezept für 4 Personen auf 6 umstellt, indem er überall 2 dazugibt, landet bei 202 g Mehl und 402 ml Milch, aber 6 Eiern. Richtig sind 300 g Mehl und 600 ml Milch.
- Die Regel nach zwei Zahlen raten: Nach 2, 4 kann 6 kommen (plus 2) oder 8 (mal 2). Erst die weiteren Zahlen verraten die Regel. Prüfen Sie mit Ihrem Kind, ob sie bis zum Ende passt.
Fünf-Minuten-Spiele für zu Hause
- Unter dem Becher. Legen Sie 10 Plättchen, Nudeln oder Rosinen auf den Tisch und verstecken Sie einige unter einem Becher. Wie viele sind darunter? „Ich sehe 6, also sind 4 unter dem Becher.“
- Ich denke mir eine Zahl. „Ich denke mir eine Zahl, rechne plus 5 und bekomme 12. Welche Zahl war es?“ Dann wechseln Sie die Rollen, und Ihr Kind stellt die Rätsel.
- Die Zahlenmaschine. Ihr Kind nennt eine Zahl, Sie rechnen heimlich mal 2 plus 1 und sagen nur das Ergebnis: Aus 3 wird 7, aus 5 wird 11. Wer errät die Regel zuerst?
- Musterketten. Fädeln Sie Perlen oder Nudeln nach einem Muster auf, erst nach einem sich wiederholenden, dann nach einem wachsenden (1 rote, 2 blaue, 3 rote …). Was kommt als Nächstes? Wie viele Perlen braucht die nächste Gruppe?
- Sirup mischen. Steht auf der Flasche „1 Teil Sirup, 4 Teile Wasser“, wie viel Sirup kommt dann in einen 500-ml-Krug? (5 Teile zu je 100 ml, also 100 ml Sirup und 400 ml Wasser.) Beim Backen können Sie das Rezept gemeinsam verdoppeln oder halbieren.
- Zahlenmauern erfinden. Ihr Kind baut eine Zahlenmauer, lässt ein paar Steine leer und gibt sie Ihnen zum Lösen. Wer eine Mauer selbst erfinden kann, hat die Regel verstanden.
Indies KnobelaufgabeDie Biene Indie legt eine Reihe von Wabenzellen aus Streichhölzern. Benachbarte Zellen teilen sich eine Seite. Für 1 Zelle braucht sie 6 Streichhölzer, für 2 Zellen 11 und für 3 Zellen 16. Wie viele Streichhölzer braucht sie für eine Reihe aus 10 Zellen? Lösung zeigen
Die erste Zelle braucht 6 Streichhölzer. Jede weitere Zelle teilt sich eine Seite mit der Zelle davor und braucht deshalb nur 5 neue. Zu der ersten Zelle kommen noch 9 weitere: 6 + 9 · 5 = 6 + 45 = 51 Streichhölzer. Als Formel: Streichhölzer = 5 · Zellen + 1, und 5 · 10 + 1 = 51.
Kostenlose Arbeitsblätter zu Mustern, Gleichungen und Dreisatz
Zum Ausdrucken für zu Hause oder für den Unterricht. Auf der zweiten Seite steht jeweils das Lösungsblatt.
Platzhalteraufgaben3. Klasse, 4. Klasse, 5. Klasse · Finde die Zahl im KästchenPDF herunterladenKurz beantwortet
Das Wort fällt in der Grundschule nicht, das Denken beginnt aber schon in der 1. Klasse mit Platzhalteraufgaben wie 3 + □ = 7. Buchstaben für unbekannte Zahlen, also Terme und erste Gleichungen, kommen meist in Klasse 5, je nach Bundesland und Schulart auch etwas später. Das Umformen von Gleichungen folgt in den höheren Klassen.
Eine Aufgabe, in der eine Zahl fehlt und durch ein Kästchen oder eine Lücke ersetzt ist, zum Beispiel □ − 4 = 5. Die fehlende Zahl findet man mit der Umkehraufgabe: 5 + 4 = 9.
Mal und Geteilt werden vor Plus und Minus gerechnet. 2 + 3 · 4 ist also 2 + 12 = 14, nicht 20. Was in Klammern steht, wird immer zuerst gerechnet: (2 + 3) · 4 = 20.
Ein Rechenweg für Aufgaben wie „3 Brezeln kosten 3,30 €. Was kosten 5 Brezeln?“ In drei Schritten: 3 Brezeln kosten 3,30 €, 1 Brezel kostet 1,10 €, 5 Brezeln kosten 5,50 €. Kinder lernen ihn meist in der 5. Klasse.
1 cm auf dem Plan entspricht 100 cm, also 1 m, in Wirklichkeit. Ein Tisch, der auf dem Plan 2 cm lang ist, ist in Wirklichkeit 2 m lang.
Üben mit Indie
Beequation Kids macht aus Rechenaufgaben Wabenrätsel. Kommt Ihr Kind nicht weiter, gibt die Biene Indie einen Tipp. Ohne Werbung und ohne Datenerfassung.