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Themen-Ratgeber
Kopfrechnen
Kopfrechnen heißt, Aufgaben im Kopf zu lösen, manchmal mit einer kurzen Notiz als Gedächtnisstütze. Es hat zwei Seiten. Zum einen gibt es Aufgaben, die man auswendig weiß: 7 + 3 = 10 oder 6 · 8 = 48. Zum anderen gibt es Rechenstrategien, mit denen man aus diesen bekannten Aufgaben neue ableitet: Wenn 6 · 8 = 48 ist, dann ist 60 · 8 = 480. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz verlangen, dass Kinder am Ende der 4. Klasse die „Grundaufgaben des Kopfrechnens (u. a. Zahlzerlegungen, Einspluseins, Einmaleins) gedächtnismäßig“ beherrschen und sie auf größere Zahlen übertragen können.
Kopfrechnen ist so wichtig, weil fast alles andere in Mathe darauf aufbaut. Ein Kind, das die Zerlegungen und das Einmaleins sicher im Kopf hat, kann sich ganz auf das Neue konzentrieren, statt seine Kraft ins Abzählen zu stecken. Außerdem rechnen auch Erwachsene jeden Tag im Kopf: beim Rückgeld an der Kasse, beim Überschlagen einer Rechnung oder bei der Frage, ob ein Ergebnis überhaupt stimmen kann.
Diese Seite gibt den Überblick. In drei Ratgebern geht es tiefer ins Detail:
Was Kinder in welcher Klasse lernen
Was wann drankommt, legt jedes Bundesland in seinem Lehrplan fest. Die Tabelle zeigt, was die meisten Schulen machen. Je nach Bundesland und Schulbuch kann sich das etwas verschieben, in Klasse 5 und 6 auch je nach Schulart.
| Klasse | Was Kinder lernen |
|---|---|
| Vorschule | Kleine Mengen und Würfelbilder auf einen Blick erkennen, ohne zu zählen (in der Fachsprache Simultanerfassung). Mengen vergleichen, Abzählreime, im Spiel dazutun und wegnehmen. |
| 1. Klasse | Die Zerlegungen der Zahlen bis 10, besonders die verliebten Zahlen (Paare, die 10 ergeben). Das Einspluseins bis 20 mit dem Zehnerübergang, Verdoppeln und Halbieren, Tausch-, Umkehr- und Nachbaraufgaben. Ziel ist, dass die Aufgaben nach und nach ohne Abzählen sitzen. |
| 2. Klasse | Rechnen im Zahlenraum bis 100. Aus Bekanntem Neues ableiten: 3 + 4 = 7, also 30 + 40 = 70. Zweistellige Zahlen im Kopf und halbschriftlich addieren und subtrahieren, zum Beispiel 46 + 37 = 83. Das kleine Einmaleins: zuerst die Kernaufgaben (die Reihen mit 1, 2, 5 und 10 und die Quadrataufgaben wie 3 · 3), dann nach und nach die übrigen Reihen. |
| 3. Klasse | Das ganze kleine Einmaleins mit den Geteiltaufgaben sicher im Kopf. Rechnen bis 1000: 450 + 300 = 750, 700 − 250 = 450. Vom Einmaleins auf Zehnerzahlen schließen: 6 · 4 = 24, also 60 · 4 = 240. Runden und Überschlagen vor jeder schriftlichen Rechnung. |
| 4. Klasse | Zahlen bis zur Million: 7 · 8 = 56, also 7000 · 8 = 56 000. Mit 10, 100 und 1000 malnehmen und teilen. Überschlag als Probe für schriftliche Rechnungen. Geldbeträge und Längen im Kopf: 2,50 € + 1,80 € = 4,30 €. |
| 5. Klasse | Rechengesetze geschickt nutzen: 25 · 7 · 4 = 25 · 4 · 7 = 700. Quadratzahlen, Teilbarkeitsregeln, negative Zahlen, „Punkt vor Strich“. Der genaue Stoff hängt vom Bundesland und von der Schulart ab. |
| 6. Klasse | Kopfrechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen, etwa ½ + ¼ = ¾ oder 2,5 · 10 = 25. Wichtige Paare wie ½ = 0,5 und ¼ = 0,25. Prozentwerte wie 50 % = ½ kommen je nach Bundesland und Schulart in Klasse 6 oder 7 dazu. |
Die wichtigsten Ideen
1. Wenige Aufgaben auswendig, der Rest wird abgeleitet
Niemand lernt jede Aufgabe einzeln auswendig. Kinder prägen sich einen festen Grundstock ein und leiten daraus neue Aufgaben ab. Aus 8 + 2 = 10 folgen 80 + 20 = 100, 800 + 200 = 1000 und 18 + 2 = 20. Beim Einmaleins sind die Kernaufgaben der Grundstock: Wer 5 · 7 = 35 und 10 · 7 = 70 weiß, kommt über 6 · 7 = 35 + 7 = 42 und 9 · 7 = 70 − 7 = 63 auf viele andere Aufgaben der Reihe. Je mehr Aufgaben sicher sitzen, desto mehr neue liegen in Reichweite.
2. Wenige Strategien reichen für die meisten Aufgaben
Diese Rechenwege lernt Ihr Kind in der Schule kennen. Unser Ratgeber zu den Kopfrechenstrategien erklärt sie alle Schritt für Schritt.
- Zehnerübergang: erst bis zur 10, dann weiter. 7 + 6 = 7 + 3 + 3 = 13.
- Schrittweise oder stellenweise rechnen: 34 + 25 schrittweise heißt erst 34 + 20 = 54, dann 54 + 5 = 59. Stellenweise heißt 30 + 20 = 50 und 4 + 5 = 9, zusammen 59.
- Verdoppeln und Nachbaraufgaben: 15 + 16 ist die Nachbaraufgabe von 15 + 15. Das Doppelte von 15 ist 30, und 1 mehr ergibt 31.
- Hilfsaufgabe: runden und ausgleichen. 64 + 19 = 64 + 20 − 1 = 83.
- Ergänzen: Bei 83 − 57 von 57 bis 83 hochrechnen, wie auf dem Rechenstrich unten.
- Tausch- und Umkehraufgaben: Statt 3 + 48 rechnet man besser 48 + 3. Und 56 : 8 ist schnell gelöst, wenn man an 7 · 8 = 56 denkt.
- Verdoppeln und Halbieren beim Malnehmen: 24 · 4 ist das Doppelte von 24 (48) und davon noch einmal das Doppelte (96). Und bei 5 · 18 halbiert man die 18 und verdoppelt die 5: 10 · 9 = 90.
3. Im Kopf, halbschriftlich, schriftlich: alles gehört zusammen
Zwischen dem reinen Kopfrechnen und den schriftlichen Verfahren steht in der Grundschule das halbschriftliche Rechnen: Das Kind rechnet im Kopf, schreibt aber die Zwischenschritte auf, zum Beispiel 347 + 285 = 347 + 200 + 80 + 5 = 632. Ab der 3. Klasse kommen die schriftlichen Rechenverfahren für große Zahlen dazu. Sie ersetzen das Kopfrechnen nicht. Jede Spalte einer schriftlichen Addition ist eine Einspluseinsaufgabe („6 plus 7 gleich 13, schreibe 3, übertrage 1“), jeder Schritt der schriftlichen Multiplikation eine Einmaleinsaufgabe.
Deshalb lohnt es sich, vor jeder Rechnung kurz zu fragen: „Kann ich das im Kopf?“ Bei 3005 − 2998 passieren schriftlich wegen der vielen Nullen leicht Fehler. Im Kopf geht es durch Ergänzen: von 2998 bis 3000 sind es 2, dann noch 5, also 7. Bei 4826 + 3957 dagegen lohnt sich die schriftliche Rechnung, und der Kopf liefert den Überschlag: ungefähr 4800 + 4000 = 8800. Das genaue Ergebnis, 8783, passt dazu.
Fragen Sie öfter „Wie hast du gerechnet?“ als „Was kommt raus?“. Wer seinen Rechenweg erklärt, behält ihn besser, und Sie hören sofort, ob Ihr Kind abgezählt oder eine bekannte Aufgabe genutzt hat. Rechnet es anders als Sie und kommt trotzdem zum richtigen Ergebnis, loben Sie das ruhig. Es gibt fast immer mehrere gute Wege, und auch im Unterricht werden verschiedene Rechenwege verglichen.
4. Erst sicher, dann schnell
Tempo entsteht durch sichere Grundaufgaben, nicht durch Hetze. Solange eine Aufgabe neu ist, darf Ihr Kind Finger, Plättchen, das Zwanzigerfeld oder eine Notiz benutzen. Geübt wird kurz und häufig, bis diese Hilfen nicht mehr nötig sind. Viele Klassen machen dafür jeden Tag ein paar Minuten Blitzrechnen: kurze Aufgabenserien, die immer wiederkehren, bis die Antworten wie von selbst kommen. Rechnen auf Zeit, wie es manche Klassen beim Einmaleins-Führerschein machen, kann helfen, wenn eine Aufgabe fast sitzt. Für ein Kind, das noch unsicher ist, bedeutet die Uhr dagegen vor allem Stress.
Was Kinder auswendig wissen sollten
Diese Grundaufgaben sollen nach und nach ohne Abzählen sitzen. Jede Klasse behält dabei, was in den Jahren davor dazugekommen ist. Wann genau etwas sitzen muss, regelt jedes Bundesland etwas anders, in Klasse 5 und 6 auch jede Schulart.
| Bis zum Ende der | Aufgaben, die ohne Abzählen sitzen sollten |
|---|---|
| Vorschule | Kein Muss. Hilfreich sind Würfelbilder und kleine Mengen bis 5, die das Kind auf einen Blick erkennt, und sicheres Zählen bis 10. |
| 1. Klasse | Alle Zerlegungen der Zahlen bis 10, besonders die verliebten Zahlen (4 + 6, 10 − 4). Die Verdopplungsaufgaben bis 10 + 10. Das Einspluseins bis 20 mit den passenden Minusaufgaben (8 + 5 = 13, 13 − 5 = 8); bei manchen Kindern dauert das bis in die 2. Klasse. |
| 2. Klasse | Das Einspluseins sicher. Zehnerzahlen, die zusammen 100 ergeben (30 + 70). Die Kernaufgaben des Einmaleins: die Reihen mit 1, 2, 5 und 10, die Quadrataufgaben bis 10 · 10 und die Geteiltaufgaben dazu. |
| 3. Klasse | Das ganze kleine Einmaleins bis 10 · 10 und alle Umkehraufgaben (42 : 6 = 7). Ergänzen bis 100 (64 + 36 = 100). |
| 4. Klasse | Malnehmen und Teilen mit 10, 100 und 1000. Ergänzen bis 1000 (350 + 650 = 1000). Die wichtigsten Umrechnungen: 1 m = 100 cm, 1 kg = 1000 g, 1 h = 60 min, 1 € = 100 ct. Halbe und Viertel bei Größen: ½ h = 30 min, ¼ kg = 250 g, ¾ l = 750 ml. |
| 5. Klasse | Quadratzahlen, oft bis 20 · 20 = 400. Die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10. Die Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. |
| 6. Klasse | Brüche und Dezimalzahlen, die zusammengehören: ½ = 0,5, ¼ = 0,25, ¾ = 0,75, ⅕ = 0,2, ⅒ = 0,1. Mit der Prozentrechnung (Klasse 6 oder 7) auch ½ = 50 %, ¼ = 25 % und ⅒ = 10 %. |
Typische Fehler, auf die Sie achten können
- Alles abzählen: Am Anfang der 1. Klasse ist das normal. Zählt ein Kind gegen Ende der 2. Klasse 8 + 5 noch an den Fingern ab, braucht es mehr Übung mit den Zerlegungen und dem Zehnerübergang.
- Zahlendreher: Im Deutschen sagen wir „dreiundsiebzig“, also erst die Einer, dann die Zehner. Beim Kopfrechnen schreiben viele Kinder deshalb 37 statt 73. Lassen Sie das Ergebnis laut vorlesen und mit dem Überschlag vergleichen.
- Stellenweise beim Minus: Bei 52 − 27 rechnet das Kind 50 − 20 = 30 und dann „7 − 2 = 5“ und kommt auf 35. Aber es heißt 2 − 7, nicht 7 − 2. Schrittweise klappt es sicherer: 52 − 20 = 32, 32 − 7 = 25.
- Falsch ausgleichen: Bei 64 + 19 rechnet das Kind 64 + 20 = 84 und zählt dann 1 dazu, statt 1 abzuziehen. Richtig ist 83, nicht 85. Fragen Sie: „Hast du zu viel oder zu wenig dazugetan?“
- „Eine Null anhängen“: Bei 25 · 10 = 250 klappt das, bei 2,5 · 10 nicht. Das Ergebnis ist 25, nicht 2,50. Beim Malnehmen mit 10 rückt jede Ziffer eine Stelle nach links.
- Immer schriftlich rechnen, auch bei 1000 − 998, wo das Ergebnis 2 im Kopf viel schneller und sicherer da ist.
Fünf-Minuten-Spiele für zu Hause
- Ergänzen-Pingpong. Sie sagen 7, Ihr Kind antwortet 3, denn zusammen ergibt das 10. Ältere Kinder ergänzen bis 100 (Sie sagen 64, Ihr Kind sagt 36) oder bis 1000 (350 und 650).
- Zahl des Tages. Wählen Sie eine Zahl, zum Beispiel 24, und sammeln Sie gemeinsam möglichst viele Aufgaben dazu: 20 + 4, 30 − 6, 6 · 4, 3 · 8, das Doppelte von 12, 48 : 2.
- Einkauf überschlagen. Beim Einkaufen rundet Ihr Kind jeden Preis auf ganze Euro und rechnet im Kopf mit. Wie nah liegt die Schätzung an der Summe auf dem Kassenbon?
- Pfand im Kopf. Für eine Einwegflasche gibt es 0,25 € Pfand. Wie viel gibt es für 4 Flaschen (1 €), für 6 (1,50 €), für 10 (2,50 €)?
- Verdoppel-Karten. Ziehen Sie eine Uno-Karte mit einer Zahl und lassen Sie Ihr Kind so schnell wie möglich das Doppelte sagen. Später geht es mit Halbieren (nur gerade Zahlen) oder mit einer Einmaleinsreihe: „Mal 6!“
- Zielzahl würfeln. Mit drei Würfeln würfeln und mit beliebigen Rechenarten möglichst nah an eine Zielzahl kommen, zum Beispiel an 20. Mit 6, 3 und 2 geht es genau: 6 · 3 + 2 = 20.
Indies KnobelaufgabeIn Indies Bienenstock wohnen 198 Bienen. Dann fliegen noch 57 Bienen dazu. Wie viele Bienen sind jetzt im Stock? Am Nachmittag fliegen 99 Bienen zum Blütensammeln aus. Wie viele bleiben im Stock? Rechne beides im Kopf! Lösung zeigen
198 ist 2 weniger als 200. 200 + 57 = 257, dann die 2 wieder abziehen: 255 Bienen. Danach: 99 ist 1 weniger als 100. 255 − 100 = 155, und weil 1 zu viel abgezogen wurde, kommt 1 wieder dazu: 156 Bienen bleiben im Stock. Beide Male hilft eine Hilfsaufgabe: runden und ausgleichen.
Kostenlose Arbeitsblätter zum Kopfrechnen
Zum Ausdrucken für zu Hause oder für die Klasse. Auf der zweiten Seite stehen jeweils die Lösungen.
Kurze Antworten
Rechnen im Kopf, mit Aufgaben, die man auswendig weiß, und mit Strategien wie Zerlegen, Ergänzen oder der Hilfsaufgabe. Eine kurze Notiz, um den Überblick zu behalten, ist dabei erlaubt. Schreibt das Kind die Zwischenschritte auf, spricht man in der Schule von halbschriftlichem Rechnen.
Solange die Aufgaben neu sind, ja, besonders in der 1. Klasse. Wenn die Zerlegungen vertraut werden, brauchen die meisten Kinder die Finger nicht mehr. Zählt Ihr Kind gegen Ende der 2. Klasse noch fast alles ab, üben Sie die Zerlegungen kurz und regelmäßig und sprechen Sie die Lehrkraft an.
Gemeint ist das kleine Einmaleins bis 10 · 10. Es beginnt in der 2. Klasse mit den Kernaufgaben. In den meisten Bundesländern soll es am Ende der 2. Klasse oder im Lauf der 3. Klasse mit den Geteiltaufgaben sicher sitzen; der Lehrplan Ihres Bundeslandes legt das genauer fest. Ein „großes Einmaleins“ bis 20 · 20 wird in der Grundschule nicht verlangt.
Eine landesweite Prüfung nur fürs Kopfrechnen gibt es nicht. Viele Lehrkräfte üben aber regelmäßig Blitzrechnen, fragen das Einmaleins in kurzen Tests oder beim Einmaleins-Führerschein ab, und auch in Klassenarbeiten hilft sicheres Kopfrechnen bei fast jeder Aufgabe. Welche Tests es in der Grundschule gibt, erklärt der Ratgeber Tests und Noten in der Grundschule.
Kurze, tägliche Übungen, bei denen immer wieder dieselben Grundaufgaben drankommen, etwa Zerlegungen der 10, Verdoppeln oder Einmaleinsreihen. Das Ziel ist nicht Hektik, sondern dass die Antworten mit der Zeit ohne Nachdenken kommen.
Üben mit Indie
Beequation Kids macht aus Rechenaufgaben Wabenrätsel. Kommt Ihr Kind nicht weiter, gibt die Biene Indie einen Tipp. Ohne Werbung und ohne Datenerfassung.