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Themen-Ratgeber

Formen und Geometrie

Geometrie ist der Teil der Mathematik, in dem es um Formen, Größe und Lage geht. In den Lehrplänen heißt dieser Bereich Raum und Form. In der Grundschule lernen Kinder, ebene Figuren (flache Formen wie Dreieck und Quadrat) und Körper (räumliche Formen wie Würfel und Kugel) zu erkennen, zu benennen und zu beschreiben. Dazu kommen die Achsensymmetrie, der rechte Winkel und die Frage, wo etwas liegt und wie man dorthin kommt. In Klasse 5 und 6 folgen das Messen von Winkeln und das Koordinatensystem.

Was Kinder in welcher Klasse lernen

Schule ist in Deutschland Ländersache. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz legen fest, was Kinder am Ende der 4. Klasse können sollen; wann genau ein Thema drankommt, regelt der Lehrplan des Bundeslandes. Die Tabelle zeigt, was die meisten Schulen machen. Je nach Bundesland und Schulbuch kann sich das etwas verschieben, in Klasse 5 und 6 auch je nach Schulart.

Die wichtigsten Ideen

1. Ebene Figuren: Ecken und Seiten

Eine ebene Figur ist flach. Wird sie ringsum nur von geraden Seiten begrenzt, heißt sie Vieleck. Im Deutschen werden Vielecke nach ihren Ecken benannt, und weil jedes Vieleck gleich viele Ecken wie Seiten hat, verrät der Name beides:

Ein regelmäßiges Vieleck hat lauter gleich lange Seiten und lauter gleich große Winkel. Das Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Auch im Wort Rechteck steckt seine Eigenschaft: Es hat vier rechte Winkel. Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck, nämlich eines mit vier gleich langen Seiten. Ab Klasse 5 oder 6 lernen Kinder weitere Vierecke kennen: Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck. Bei Dreiecken unterscheidet man gleichseitige (alle Seiten gleich lang), gleichschenklige (zwei Seiten gleich lang) und unregelmäßige Dreiecke (alle Seiten verschieden lang); hat ein Dreieck einen rechten Winkel, ist es rechtwinklig. Der Kreis ist kein Vieleck: Er hat weder Ecken noch gerade Seiten.

2. Körper: Flächen, Kanten und Ecken

Ein Körper ist räumlich, man kann ihn in die Hand nehmen. Er wird von Flächen begrenzt. Die Linien, an denen zwei Flächen zusammenstoßen, heißen Kanten, und die Punkte, an denen mehrere Kanten zusammentreffen, heißen Ecken.

Kugel, Zylinder und Kegel haben gekrümmte Flächen. Die Kugel (ein Fußball) besteht nur aus einer gekrümmten Fläche. Der Zylinder (eine Konservendose) hat zwei Kreisflächen und eine gekrümmte Fläche, der Kegel (eine Eiswaffel oder ein Leitkegel an der Baustelle) eine Kreisfläche, eine gekrümmte Fläche und eine Spitze.

3. Würfelnetze

Schneidet man einen Würfel aus Karton an einigen Kanten auf und klappt ihn flach auseinander, entsteht ein Netz: sechs Quadrate, die an ihren Seiten zusammenhängen. Aber nicht jede Anordnung von sechs Quadraten lässt sich wieder zu einem Würfel falten. Insgesamt gibt es 11 verschiedene Würfelnetze. Kinder prüfen das in der 3. und 4. Klasse, indem sie im Kopf falten: Welche Fläche wird der Boden, welche klappt nach oben, und überlappen sich zwei Flächen?

4. Achsensymmetrie

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine Linie sie in zwei spiegelbildliche Hälften teilt. Diese Linie heißt Spiegelachse oder Symmetrieachse. In der Schule prüfen Kinder das auf zwei Arten: mit der Faltprobe (ausschneiden, an der Linie falten, die Hälften müssen genau aufeinanderliegen) und mit der Spiegelprobe: Sie stellen einen kleinen Spiegel auf die Linie und vergleichen das Spiegelbild mit der anderen Hälfte. Ein regelmäßiges Vieleck hat so viele Spiegelachsen, wie es Ecken hat. Ein Kreis hat unendlich viele: Jede Linie durch den Mittelpunkt ist eine.

Ab der 3. und 4. Klasse spiegeln Kinder Figuren auf Kästchenpapier an einer Achse. Jeder Punkt landet auf der anderen Seite der Achse, genauso weit von ihr entfernt wie vorher. Verwandt damit sind Bandornamente (ein Muster wiederholt sich in einem Streifen) und Parkette: Figuren, die eine Fläche lückenlos und ohne Überlappung bedecken, wie die Fliesen im Bad oder die Waben eines Bienenstocks.

5. Winkel: vom rechten Winkel zum Geodreieck

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Linien, die Schenkel, von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, dem Scheitel. Seine Größe sagt, wie weit man den einen Schenkel drehen müsste, um auf den anderen zu kommen. Kinder erleben das zuerst mit dem eigenen Körper: eine Vierteldrehung, eine halbe Drehung, eine ganze Drehung. Eine Vierteldrehung ist ein rechter Winkel, die Ecke, die man an einem Buch, einer Tischplatte oder einem Türrahmen sieht. In der 3. Klasse prüfen Kinder rechte Winkel mit dem Geodreieck: Die Ecke gegenüber der langen Seite ist ein rechter Winkel.

In der 5. Klasse wird in Grad gemessen. Eine ganze Drehung sind 360°, eine halbe Drehung (eine gerade Linie) 180°, ein rechter Winkel 90°. Die Winkelarten heißen:

• spitzer Winkel: kleiner als 90°
• rechter Winkel: genau 90°
• stumpfer Winkel: größer als 90° und kleiner als 180°
• gestreckter Winkel: genau 180°
• überstumpfer Winkel: größer als 180° und kleiner als 360°
• Vollwinkel: genau 360°

Zum Messen legt man den Nullpunkt an der langen Seite des Geodreiecks genau auf den Scheitel und die lange Seite auf einen Schenkel. Dann liest man auf der Skala ab, die an diesem Schenkel bei 0 beginnt. Das Geodreieck hat zwei Skalen, und wer die falsche abliest, macht den häufigsten Fehler: Dann wird aus einem Winkel von 50° einer von 130°. Fragen Sie deshalb vorher: „Ist der Winkel spitz oder stumpf?“ So weiß Ihr Kind ungefähr, was herauskommen muss. Überstumpfe Winkel misst man über den Rest: Ist der kleinere Winkel 120°, dann ist der überstumpfe 360° − 120° = 240°.

6. Lage, Wege und Koordinatensystem

Kleine Kinder beschreiben die Lage mit Wörtern wie oben, unten, neben, zwischen, links und rechts. Später beschreiben sie Wege („drei Schritte vorwärts, dann eine Vierteldrehung nach rechts“), lesen kleine Pläne und betrachten Würfelgebäude von vorne, von der Seite und von oben. Auf einem Bauplan steht in jedem Feld, wie viele Würfel dort übereinander liegen.

In der 5. Klasse kommt das Koordinatensystem dazu. Ein Punkt wird mit zwei Zahlen angegeben, in Deutschland mit einem senkrechten Strich dazwischen: P(3|5). Die erste Zahl sagt, wie weit es nach rechts geht (auf der x-Achse oder Rechtsachse), die zweite, wie weit nach oben (auf der y-Achse oder Hochachse). Eine Merkhilfe: x kommt im Alphabet vor y, also erst nach rechts, dann nach oben.

Wird eine Figur verschoben, bewegen sich alle Punkte gleich weit in dieselbe Richtung: Der Punkt (2|1) landet 3 Kästchen nach rechts und 2 nach oben bei (5|3). Beim Spiegeln an einer Achse bleibt jeder Punkt gleich weit von der Achse entfernt, nur auf der anderen Seite. Kennen die Kinder negative Zahlen, spiegeln sie auch an der y-Achse: Aus dem Punkt (2|3) wird (−2|3). Verschieben und Spiegeln ändern die Größe einer Figur nicht. Beim Vergrößern dagegen schon: Verdoppelt man bei einem Rechteck von 3 mal 2 Kästchen alle Seiten, wird es 6 mal 4 Kästchen groß. Es bedeckt dann 24 statt 6 Kästchen, also viermal so viel Fläche.

Typische Fehler, auf die Sie achten können

• „Das ist kein Quadrat, das ist eine Raute!“ Ein auf die Spitze gestelltes Quadrat bleibt ein Quadrat, wie das gelbe Schild für die Vorfahrtstraße. Genau genommen ist jedes Quadrat auch eine Raute, aber nicht jede Raute ist ein Quadrat: Einer Raute fehlen in der Regel die rechten Winkel.
• „Ein Quadrat ist doch kein Rechteck.“ Doch: Es hat vier rechte Winkel, und dazu sind alle Seiten gleich lang.
• Formen nur in der gewohnten Lage erkennen: Manche Kinder erkennen ein Dreieck nur, wenn es auf einer Seite steht. Zeigen Sie Formen gedreht, lang gezogen, groß und klein.
• Diagonalen als Spiegelachsen: Faltet man ein Rechteck an der Diagonale, liegen die Hälften nicht aufeinander. Probieren Sie es mit einem Blatt Papier aus.
• Lange Schenkel, großer Winkel: Die Größe eines Winkels hängt von der Drehung ab, nicht davon, wie lang die Schenkel gezeichnet sind.
• Ecken, Kanten und Flächen verwechseln: Eine Ecke piekst, an einer Kante kann man mit dem Finger entlangfahren, eine Fläche kann man anmalen.
• Koordinaten vertauschen: P(3|5) und P(5|3) sind verschiedene Punkte. Erst nach rechts, dann nach oben.

Fünf-Minuten-Spiele für zu Hause

• Formen-Detektive. In der Küche einen Zylinder, einen Quader und eine Kugel finden. Dann gemeinsam an einer Müslipackung die Flächen, Kanten und Ecken zählen (6, 12 und 8).
• Ich sehe was, was du nicht siehst. „… und das hat vier rechte Winkel“ oder „… und das ist ein Zylinder“. Wer es errät, stellt die nächste Frage.
• Klecksbilder. Etwas Farbe auf eine Hälfte eines Blatts tropfen, in der Mitte falten, auseinanderklappen. Die Faltlinie ist die Spiegelachse.
• Roboter spielen. Ihr Kind lotst Sie mit Befehlen zum Sofa: „4 Schritte vorwärts, Vierteldrehung nach links, 2 Schritte vorwärts.“ Danach wird getauscht.
• Schilder auf dem Schulweg. Welche Verkehrsschilder sind Kreise, welche Dreiecke, welches ist ein Achteck? Und welches ist ein gedrehtes Quadrat?
• Schiffe versenken. Ältere Kinder zeichnen ein kleines Koordinatensystem, verstecken Schiffe auf Punkten und rufen abwechselnd Koordinaten wie (4|2).

Kostenlose Arbeitsblätter zu Formen und Geometrie

Zum Ausdrucken für zu Hause oder für die Klasse. Auf der zweiten Seite stehen jeweils die Lösungen.

Formen erkennen1. Klasse, 2. Klasse · Namen, Seiten und EckenPDF herunterladen

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